Sommaire général

Régimes sinusoïdaux

Entraînement

IV. Le nombre complexe associé à une grandeur sinusoïdale

4. Utilisation pour l'addition de grandeurs sinusoïdales

On considère deux grandeurs sinusoïdales de même fréquence dont les valeurs instantanées ont pour équations :

`x_1(t) = X_"1max" sin(omega t + phi_"x1")` et `x_2(t) = X_"2max" sin(omega t + phi_"x2")`.

La somme de deux grandeurs sinusoïdales de même fréquence est une grandeur sinusoïdale de fréquence identique.

On souhaite déterminer `x_3(t)` telle que `x_3(t) = x_1(t) + x_2(t)` en utilisant les nombres complexes associés. La méthode est la suivante :

Exemple

On considère deux grandeurs sinusoïdales dont les valeurs instantanées ont pour équations :

`x_1(t) = 40 sqrt(2) .sin(omega t + phi_"x1")` avec `phi_"x1" = 30°` et `x_2(t) = 30 sqrt(2) .sin(omega t + phi_"x2")`, `phi_"x2" = -30°`.

L'objectif est de déterminer `x_3(t) = x_1(t) + x_2(t)` en utilisant les nombres complexes.

Association des nombres complexes aux grandeurs
  • Le nombre complexe `ul X_1` associé à `x_1(t)` s'écrit :

    `ul X_1 = 40,0. cos (30) + j. 40,0 .sin (30) `

    soit `X_1 = 34,6 + j .20,0`. Son affixe est placée dans le plan complexe.

  • Le nombre complexe `ul X_2` associé à `x_2(t)` s'écrit :

    `ul X_2 = 30,0. cos (-30) + j .30,0 .sin (-30)`

    soit ` ul X_2 = 26,0 - j. 15,0`. Son affixe est placée dans le plan complexe.

Addition des nombres complexes

Le nombre complexe `ul X_3` est la somme de `ul X_1` et `ul X_2` : `ul X_3 = ul X_1 + ul X_2`.

Soit `ul X_3 = 34,6 + j. 20,0 + 26,0 - j .15,0` ce qui donne : `ul X_3 = 60,6 + j. 5,0`

(s)0x1(t)x2(t)T

Sur le graphe ci-dessus : une graduation verticale correspond à 10 unités.

Re0ImX1a1b1X2a2b2X3a3b3
Détermination du nombre complexe « somme »

Le module de `ul X_3` est calculé à partir de la relation : `X_3 = sqrt(60,6^2 + 5^2) = 60,8`

L'argument de `ul X_3` peut être calculé à partir des relations : `cos phi_"x3" = {60,6} / {60,8}` ; `sin phi_"x3" = 5 / {60,8}` ; `tan phi_"x3" = 5 / {60,6}` ce qui donne `phi_"x3" ~~ 5°`.

Équation de la valeur instantanée de `x_3(t)`

D'après le diagramme `phi_"x3,x1" = phi_"x3" - phi_"x1" = -25°` d'où `phi_"x3" = phi_"x3,x1" - phi_"x1" = -25 + 30 = 5°`.

On obtient finalement `x_3(t) = 61 sqrt(2) sin( omega t + 5/180 pi)`.