Sommaire général

Régimes sinusoïdaux

Entraînement

III. Vecteur de Fresnel associé à une grandeur sinusoïdale

6. Addition de grandeurs sinusoïdales

On considère deux grandeurs sinusoïdales de même nature, de même fréquence dont les valeurs instantanées ont pour équations :

`x_1(t) = X_"1max" sin(omega t + phi_"x1")` et `x_2(t) = X_"2max" sin(omega t + phi_"x2")`.

La somme de deux grandeurs sinusoïdales de même fréquence est une grandeur sinusoïdale de fréquence identique.

On souhaite déterminer `x_3(t)` telle que `x_3(t) = x_1(t) + x_2(t)` en utilisant les vecteurs de Fresnel associés. La méthode est la suivante :

Exemple

On considère deux grandeurs sinusoïdales dont les valeurs instantanées ont pour équations :

`x_1(t) = 40 sqrt(2) .sin(omega t + phi_"x1")` avec `phi_"x1" = 30°` et `x_2(t) = 30 sqrt(2) .sin(omega t + phi_"x2")`, `phi_"x2" = -30°`.

L'objectif est de déterminer `x_3(t) = x_1(t) + x_2(t)` en utilisant les vecteurs de Fresnel

Association des vecteurs aux grandeurs
  • Le vecteur `vec X_1` associé à `x_1(t)` est choisi comme origine des phases et placé horizontalement.
  • `x_2(t)` est en retard de 60° sur `x_1(t)` d'où la position de son vecteur associé `vec X_2`.
(s)0x1(t)x2(t)T

Sur le graphe ci-dessus : une graduation verticale correspond à 10 unités de `x_1(t)`.

Addition des vecteurs

La somme vectorielle permet de déterminer le vecteur `vec X_3` associé à `x_3(t)`.

Détermination du vecteur somme

On détermine graphiquement le module de `vec X_3` soit environ 61 et le retard de `x_3(t)` sur `x_1(t)` soit environ 25°.

X1X2ω
Équation de la valeur instantanée de `x_3(t)`

D'après le diagramme `phi_"x3,x1" = phi_"x3" - phi_"x1" = -25°` d'où `phi_"x3" = phi_"x3,x1" - phi_"x1" = -25 + 30 = 5°`.

On obtient finalement `x_3(t) = 61 sqrt(2) sin( omega t + 5/180 pi)`.