Sommaire général

Régimes sinusoïdaux

Entraînement

IV. Le nombre complexe associé à une grandeur sinusoïdale

3. Application aux dipôles élémentaires

c. Capacité

Une capacité `C` est soumis à une tension sinusoïdale dont la valeur instantanée suit l’équation `u(t) = U sqrt 2 sin(omega t)`

La tension `u(t)` aux bornes de `C` et l’intensité `i(t)` qui la traverse sont reliées par `i(t) = C {d u(t)}/{dt}` avec `C` en farad (F), `i(t)` en ampère (A) et `u(t)` en volt (V).

L’équation de la valeur instantanée de `i(t)` s'écrit :

`i(t) = C U omega sqrt 2 cos(omega t)`

Cu(t)i(t)

Comme `cos (omega t) = sin (omega t + pi/2)` alors `i(t) = C U omega sqrt 2 sin (omega t + pi/2)`

Les nombres complexes associés à `u(t)` et `i(t)` sont notés `ul U` et `ul I` . Ils présentent les caractéristiques suivantes : `ul U = U` car la phase à l'origine de `u(t)` est nulle et `ul I = C omega U (cos ( pi/2 ) + j. sin ( pi/2 )) = j C omega U` car son module est égal à `C omega U` et sa phase à l'origine égale à `pi/2 " rad"`.

Les nombres complexes associés à `u(t)` et `i(t)` sont donc reliés par : `ul I = jC omega ul U`

Si la phase à l'origine de la tension n'est pas choisie nulle alors `u(t) = U sqrt 2 sin(omega t + phi_"u")`. La valeur instantanée de l'intensité s'écrit `i(t) = C omega U sqrt 2 sin(omega t + phi_"u" + pi/2)`. Les nombres complexes associés à `i(t)` et `u(t)` sont `ul U = U (cos phi_"u" + j. sin phi_"u" )` et `ul I = C omega U (cos (phi_"u" + pi/2 ) + j. sin (phi_"u" + pi/2 ))`

Le graphe ci-dessous représente l'évolution de la tension et de l'intensité en fonction du temps : le courant est en avance de 90° sur la tension.

(s)0u(t)i(t)T

Le graphe ci-dessous représente les vecteurs de Fresnel associés à la tension et l'intensité : les deux vecteurs sont orthogonaux.

UIω

L'impédance complexe de la capacité : `ul Z = ul U / ul I = 1/{j . C omega}`, son admittance complexe : `ul Y = ul I / ul U = j . C omega`