Sommaire général

Machines asynchrones

V. Diagramme vectoriel des intensités (ou diagramme du cercle)

1. Introduction

Les pertes dans le fer sont négligées

Il s'agit de représenter les nombres complexes associés aux intensités sur un diagramme vectoriel. Les seules pertes envisagées sont les pertes par effet Joule au rotor, le schéma équivalent d'une phase de la machine est donc celui représenté ci-dessous :

Pour les calculs, les valeurs suivantes seront prises : `L_"m" = 265" mH"`, `R = 4 Omega` et `L = 9,3 " mH"`

La valeur efficace de la tension aux bornes d'un enroulement du stator est notée `V_"s"`, l'intensité efficace du courant dans un enroulement du stator est notée `I_"s"` et le déphasage entre la tension et l'intensité pour un enroulement du stator est noté `phi_"s"`.

Pour les calculs : `V_"s" = 230" V"`, la fréquence est égale à 50 Hz.

VsIsIs0LmRgLIst

Le nombre complexe `ul V_"s"`, associé à la tension statorique, est placé verticalement et orienté vers le haut.

Le nombre complexe `ul I_"s0"`, associé à l'intensité à vide, est placé horizontalement et orienté vers le droite : le courant dans l'inductance `L_"m"` est en retard de 90° sur la tension à ses bornes.

Le nombre complexe `ul I_"s"`, associé à l'intensité statorique, fait un angle `phi_"s"` avec `ul V_"s"` : l’intensité statorique est en retard de `phi_"s"` sur la tension statorique.

Le nombre complexe `ul I_"st"`, associé à l'intensité circulant dans le « rotor ramené au stator », est placé en appliquant la loi des noeuds : `ul I_"s" = ul I_"s0" + ul I_"st"` ce qui donne `ul I_"st" = ul I_"s" - ul I_"s0"`.

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Si les pertes dans le fer ne sont pas négligées

Le schéma équivalent est modifié, la résistance `R_"f"` est rajoutée en parallèle sur l'inductance magnétisante. Il est représenté ci-dessous. Pour les calculs, les valeurs suivantes seront prises : `R_"f" = 790 Omega`, `L_"m" = 265" mH"`, `R = 4 Omega` et `L = 9,3 " mH"`

La valeur efficace de la tension aux bornes d'un enroulement du stator est notée `V_"s"`, l'intensité efficace du courant dans un enroulement du stator est notée `I_"s"` et le déphasage entre la tension et l'intensité pour un enroulement du stator est noté `phi_"s"`.

Pour les calculs : `V_"s" = 230" V"`, la fréquence est égale à 50 Hz.

VsIsIs0RfLmRgLIst

Intensité `ul I_"s0"` dans l'association parallèle `R_f` et `L_m`

Méthode utilisant les lois d'Ohm et la loi des noeuds

L'intensité dans `R_f` s'écrit `ul I_"sf" = ul V_"s" / R_"f"` et l'intensité dans `L_m` s'écrit `ul I_"sm" = ul V_"s" / {j L_"m" omega}`

D'après la loi des noeuds, `ul I_"s0" = ul I_"sf"+ ul I_"sm"` soit `ul I_"s0" = ul V_"s" / R_"f" + ul V_"s" / {j L_"m" omega} = ul V_"s" / R_"f" - j ul V_"s" / {L_"m" omega}` car `1/j = -j`

Méthode utilisant les lois d'association des admittances

Les deux éléments sont en parallèle, leurs admittances s'ajoutent : `ul Y_"eq" = 1 /R_"f" + 1/{j L_"m" omega}`

D'après la loi d'Ohm `ul I_"s0" = ul Y_"eq" ul V_"s"` soit `ul I_"s0" = (1 /R_"f" + 1/{j L_"m" omega}) ul V_"s"`

Application numérique

`ul I_"s0" = ul V_"s" / 790 - j ul V_"s" / {0,265 times 2 pi times 50}`.

Si `ul V_"s"` est prise comme origine des phases alors `ul V_"s" = 230` et `ul I_"s0" = 230 / 790 - j 230 / {0,265 times 2 pi times 50}`

Finalement : `ul I_"s0" = 0,29 - j 2,76` ; ce qui donne une intensité efficace à vide `I_"s0" = sqrt {0,29^2 + 2,76^2} = 2,77" A"` et un déphasage `phi_"s0"` tel que `tan phi_"s0" = {2,76} / {0,29} = 9,52` soit `phi_"s0" = 84°`.

Intensité `ul I_"s"` dans un enroulement du stator

Si la tension statorique est prise comme origine des phases, l'intensité `ul I_"s"` est donnée par la relation `ul I_"s" = I_"s" cos phi_"s" - j I_"s" sin phi_"s"`.

Intensité `ul I_"st"` dans le rotor ramené au stator

La résistance `R/g` et l'inductance `L` sont associées en série, leur impédance équivalente est égale à ` R/{g} + j L omega ` d'où la relation entre la tension `ul V_"s"` et l'intensité `ul I_"st"` : `ul V_"st" = (R/{g} + j L omega )ul I_"st"`

L'intensité des courants statoriques et le facteur de puissance statorique sont connus

Pour les calculs, on prend `I_"s" = "4,8 A"` et `cos phi_"s" = 0,76`. Le déphasage entre la tension et l'intensité pour un enroulement du stator est alors égal proche de 40° (le courant est en retard sur la tension).

On peut alors déterminer `ul I_"st"` :

D'après la loi des noeuds `ul I_"st" = ul I_"s" - ul I_"s0"` soit en remplaçant `ul I_"s"` et `ul I_"s0"` par les expressions trouvées précédemment : `ul I_"st" = I_"s" cos phi_"s" - j I_"s" sin phi_"s" - ul V_"s" / R_"f" + j ul V_"s" / {L_"m" omega}`

Si la tension statorique est prise comme origine des phases : `ul I_"st" = I_"s" cos phi_"s" - j I_"s" sin phi_"s" - V_"s" / R_"f" + j V_"s" / {L_"m" omega}`

En regroupant les parties réelles et imaginaires : `ul I_"st" = I_"s" cos phi_"s" - V_"s" / R_"f" - j (I_"s" sin phi_"s" - V_"s" / {L_"m" omega})`

Application numérique

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`ul I_"st" = 4,8 times 0,76 - 230 / 790 - j (4,8 sin 40 - 230 / {0,265 times 2 pi times 50}) = 3,36 - j 0,322`

La valeur efficace de `ul I_"st"` est `I_"st" = sqrt {3,36^2 + 0,322^2} = 3,37" A"` et le déphasage `phi_"st"` entre `ul I_"st"` et `ul V_"s"` est tel que `tan phi_"st" = {0,322} /{3,36} = 0,096` ce qui correspond à un déphasage de 5° (le courant est en retard)

La puissance active pour le rotor ramené au stator s'écrit `P_"ar" = 3 V_"s" I_"st" cos phi_"st"` mais aussi `P_"ar" = 3 R/{g} I_"st"^2` ce qui donne `3 V_"st" I_"st" cos phi_"st" = 3 R/{g} I_"st"^2` d'où `g = {R I_"st"}/{V_"s" cos phi_"st"} = {4 times 3,37}/{230 times 5} = 1,17%`