Sommaire général

Régimes sinusoïdaux

IV. Le nombre complexe associé à une grandeur sinusoïdale

3. Application aux dipôles élémentaires

b. Inductance

Une inductance `L` est parcourue par un courant sinusoïdal dont la valeur instantanée suit l’équation `i(t) = I sqrt 2 sin(omega t)`.

La tension `u(t)` aux bornes de `L` et l’intensité `i(t)` qui la traverse sont reliées par `u(t) = L {d i(t)}/{dt}` avec `L` en henry (H), `i(t)` en ampère (A) et `u(t)` en volt (V).

L’équation de la valeur instantanée de `u(t)` s'écrit :

`u(t) = L I omega sqrt 2 cos(omega t)`

Lu(t)i(t)

Comme `cos (omega t) = sin (omega t + pi/2)` alors `u(t) = L I omega sqrt 2 sin (omega t + pi/2)`

Les nombres complexes associés à `u(t)` et `i(t)` sont notés `ul U` et `ul I` . Ils présentent les caractéristiques suivantes : `ul I = I` car la phase à l'origine de `i(t)` est nulle et `ul U = L omega I (cos ( pi/2 ) + j. sin ( pi/2 )) = j L omega I` car son module est égal à `L omega I` et sa phase à l'origine égale à `pi/2 " rad"`.

Les nombres complexes associés à `u(t)` et `i(t)` sont donc reliés par : `ul U = jL omega ul I`

Si la phase à l'origine de l'intensité n'est pas choisie nulle alors `i(t) = I sqrt 2 sin(omega t + phi_"i")`. La valeur instantanée de la tension s'écrit `u(t) = L omega I sqrt 2 sin(omega t + phi_"i" + pi/2)`. Les nombres complexes associés à `i(t)` et `u(t)` sont `ul I = I (cos phi_"i" + j. sin phi_"i" )` et `ul U = L omega I (cos (phi_"i" + pi/2 ) + j. sin (phi_"i" + pi/2 ))`

Le graphe ci-dessous représente l'évolution de la tension et de l'intensité en fonction du temps : le courant est en retard de 90° sur la tension.

(s)0u(t)i(t)T

Le graphe ci-dessous représente les vecteurs de Fresnel associés à la tension et l'intensité : les deux vecteurs sont orthogonaux.

UIω

L'impédance complexe de l'inductance : `ul Z = ul U / ul I = j .L omega`, son admittance complexe : `ul Y = ul I / ul U = 1/{j .L omega}`