Sommaire général

Mécanique des fluides

VII. Énergie éolienne

2. Loi de Betz

Cette loi permet de calculer l'énergie maximale récupérable par une éolienne.

La figure ci-contre représente une éolienne.

Le flux d'air est dirigé de la droite vers la gauche : les pales prélèvent une partie de l'énergie cinétique de l'air, la vitesse de celui-ci est donc plus faible après son passage et d'après la relation de continuité, la section du tube de courant à la sortie de l'éolienne est plus grande qu'à son entrée.

La vitesse du vent avant l'éolienne est notée `v_1`, celle après l'éolienne est notée `v_2`. La vitesse moyenne est égale à `v_"moy" = {v_1 + v_2} / 2`.

Schéma d'une éolienne

L'air se déplace de la droite vers la gauche.

Pendant un temps `Delta t` , la masse `Delta m` d'air traversant l'éolienne est égale à :

`Delta m = rho . S . v_"moy" .Delta t = rho . S . {v_1 + v_2} / 2 .Delta t` avec `S` la surface balayée par les pales de l'éolienne.

D'après le théorème de l'énergie cinétique :

`E_"c2" - E_"c1" = Delta W_"éolienne" = 1/ 2 Delta m. v_2^2 - 1 / 2 Delta m. v_1^2 = 1 / 2 Delta m (v_2^2 - v_1^2)` ; comme `v_2^2 lt v_1^2` cette énergie est négative : elle est transférée de l'air à l'éolienne.

En remplaçant `Delta m` par l'expression trouvée prédédemment, la relation devient :

`Delta W_"éolienne" = 1 / 2 rho . S . {v_1 + v_2} / 2 .Delta t (v_2^2 - v_1^2) ={rho . S} / 4 (v_1 + v_2) . (v_2^2 - v_1^2). Delta t`

La puissance reçue par l'éolienne : `P_"éolienne" = - {Delta W_"éolienne"} / {Delta t} ={rho . S} / 4 (v_1 + v_2) . (v_1^2 - v_2^2)`

Si l'éolienne n'était pas là, l'énergie cinétique de la masse d'air serait égale à `E_"c0" = 1 / 2 Delta m v_1^2 ` soit `E_"c0" = 1 / 2 rho . S . v_1 .Delta t. v_1^2 = 1 / 2 rho . S . Delta t. v_1^3` ce qui correspond à une puissance `P_"0" = 1 / 2 rho . S . v_1^3`

Calcul du rapport de `P_"éolienne"` sur `P_0` : `P_"éolienne" / P_0 = {{rho . S} / 4 (v_1 + v_2) . (v_1^2 - v_2^2)} / {{rho . S} / 2 v_1^3} = 1 / 2 (1 + v_2 / v_1) .[1 - (v_2 / v_1)^2]`

La courbe `P_"éolienne" / P_0 = f(v_2 / v_1)`, tracée ci-contre, passe par un maximum pour `v_2 / v_1 = 1 / 3`, on a alors`P_"éolienne" / P_0 = 16 / 27`

La puissance maximale d'une éolienne est donnée par `P_"éolienne" = 16 / 27 P_0 = 16 / 27 . 1 / 2 rho . S. v_1^3`, elle dépend de la surface balayée par les pales et du cube de la vitesse du vent avant l'éolienne.

Courbe illustrant la loi de Betz