Sommaire général

Analyse harmonique

II. Utilisation

2. Méthode générale de résolution d’un problème

e. Application à un circuit `R L`

L'objectif est de déterminer l'intensité `i(t)` à travers le circuit représenté ci-dessous à droite aux bornes duquel est imposée la tension `u(t)`, de fréquence 50 Hz, représentée ci-dessous à gauche.

(s)0tu(t) (V)1000,5.TT
RLu(t)i(t)

`R = 20" "Omega` et `L = 40 " mH"`

Identification

Étude du circuit en continu

En continu, l'inductance se comporte comme un court-circuit, l'intensité est reliée à la tension par

`I = U / R`

RLUI

Étude du circuit en régime sinusoïdal

Les grandeurs `i_p(t)` et `u_p(t)` sont des grandeurs sinusoïdales de pulsation `omega_p` . Pour l'étude du comportement en sinusoïdal , il est possible d'utiliser les nombres complexes `ulI_p` et `ulU_p` associés aux grandeurs `i_p(t)` et `u_p(t)`.

La résistance et l'inductance sont en série donc `ulU_p = (R + j L.omega_p)ulI_p `

Les valeurs efficaces de `i_p(t)` et `u_p(t)` sont reliées par `I_p = U_p /sqrt(R^2+(L.omega_p)^2)`

Le retard `phi_p` de l'intensité `i_p(t)` par rapport à `u_p(t)` est tel que `tan phi_p = (L.omega_p)/R`

Si `u_p(t) = U_p sqrt(2) sin (omega_p.t)` alors `i_p(t) = I_p sqrt(2) sin (omega_p.t-phi_p)`.

Étape 1 : décomposition de la tension `u(t)` (grandeur d'entrée)

Le développement en série de Fourier est :

`u(t)= 50 + sum_(k=0)^infty 200/((2 k+1) pi).sin(``(2k+1)` `omega t)`

Les harmoniques de rangs pairs sont nuls.

(s)0tu(t) (V)1000,5.TT

soit pour les premiers termes :

`u(t)=50+200/pi.sin(omega t)+200/(3.pi).sin(3 omega t)+200/(5.pi).sin(5 omega t)+200/(7.pi).sin(7 omega t)+...`

La reconstitution de `u(t)` limitée au rang 7 est représentée sur le graphe.

Étape 2 : détermination des termes de l'intensité `i(t)` (grandeur de sortie)

Détermination de la composante continue `I_0` de l'intensité `i(t)`

Les composantes continues de la tension et de l'intensité sont reliées par `U_0 = R.I_0` soit `I_0 = U_0/R = 50/20 = 2,5 " A"`.
La composante continue de l'intensité est égale à 2,5 A.

Détermination des harmoniques de rang `n` de l'intensité `i(t)`

Les harmoniques de rang `n` de `u(t)` et `i(t)` sont notés `i_n(t)` et `u_n(t)`

Leurs valeurs efficaces sont reliées par `I_n = U_n /sqrt(R^2+(L.n.omega)^2)` avec `omega` la pulsation du fondamental telle que `omega = {2 pi}/T`

Le retard `phi_n` de l'harmonique de rang `n` de l'intensité `i_n(t)` par rapport à `u_n(t)` est tel que `tan phi_n = (L.n.omega)/R`

Tous les harmoniques de la tension ayant une phase à l'origine nulle, l'harmonique de rang `n` du courant s'écrit :

`i_n(t) = I_n sqrt(2) sin (n.omega.t-phi_n)`.

Valeurs numériques :

Étape 3 : reconstitution de l'intensité `i(t)` (grandeur de sortie)

D'après le théorème de superposition :

`i(t) = I_0 + i_1(t) + i_3(t) + i_5(t) +...`

La reconstitution de `i(t)` limitée au rang 9 est représentée sur le graphe.

(s)0ti(t) (A)50,5.TT