Sommaire général

Régimes sinusoïdaux

IV. Le nombre complexe associé à une grandeur sinusoïdale

2. Rappels sur les nombres complexes

Relations de passages entre formes algébrique et géométrique

Somme - Produit - Quotient ... de nombres complexes

Représentation dans le plan complexe

La représentation d'un nombre complexe dans le plan complexe est appelée affixe.

Formes algébriques et géométriques

Un nombre complexe `ul X` peut être écrit sous différentes formes :

Re0ImX

`j` est le nombre complexe tel que `j^2 = -1`. En mathématiques, il est noté `i`.

Relations de passage entre les deux formes

Soit un nombre complexe s'écrivant `ul X = a + jb` sous sa forme algébrique et `ul X = X (cos phi_"x" + j .sin phi_"x")` sous sa forme géométrique.

En développant la forme géométrique et en identifiant les parties réelles et imaginaires pour les deux formes, on obtient les relations

À partir de la représentation de l'affixe dans le plan complexe, on détermine les relations :

Re0ImX

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Somme de deux nombres complexes

L'objectif est de faire la somme de deux nombres complexes `ul X_1` et `ul X_2` écrits sous leur forme algébrique : `ul X_1 = a_1 + j.b_1` et `ul X_2 = a_2 + j.b_2`

Si les nombres complexes sont connus par leurs formes géométriques, il faut les transformer.

Le nombre complexe `ul X_3 = ul X_1 + ul X_2` s'écrit :

`ul X_3 = a_1 + j.b_1 + a_2 + j.b_2`

Soit en regroupant les parties réelles et imaginaires :

`ul X_3 = (a_1 + a_2) + j(b_1 + b_2) = a_3 + j.b_3`

Re0ImX1a1b1X2a2b2X3a3b3

Affixes de `ul X_1`, `ul X_2` et de leur somme `ul X_3 = ul X_1 + ul X_2` dans le plan complexe.

L'addition de deux nombres complexes revient à faire la somme des parties réelles d'une part et celle des parties imaginaires d'autre part.

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Produit de deux nombres complexes

L'objectif est de faire le produit de deux nombres complexes `ul X_1` et `ul X_2` écrits sous leur forme géométrique : `ul X_1 = X_1 |__ phi_1` et `ul X_2 = X_2 |__ phi_2`

Le module `X_3` du nombre complexe `ul X_3 = ul X_1 . ul X_2` est égal au produit des modules des nombres complexes `ul X_1` et `ul X_2`:

`X_3 = X_1 .X_2`

L'argument `phi_3` du nombre complexe `ul X_3 = ul X_1 . ul X_2` est égal à la somme des arguments des nombres complexes `ul X_1` et `ul X_2`:

`phi_3 = phi_1 + phi_2`

Le produit de deux nombres complexes revient à faire le produit des modules d'une part et la somme des arguments d'autre part.

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Quotient de deux nombres complexes

L'objectif est de faire le quotient de deux nombres complexes `ul X_1` et `ul X_2` écrits sous leur forme géométrique : `ul X_1 = X_1 |__ phi_1` et `ul X_2 = X_2 |__ phi_2`

Le module `X_3` du nombre complexe `ul X_3 = ul X_1 / ul X_2` est égal au rapport des modules des nombres complexes `ul X_1` et `ul X_2`:

`X_3 = X_1 /X_2`

L'argument `phi_3` du nombre complexe `ul X_3 = ul X_1 / ul X_2` est égal
à la différence des arguments des nombres complexes `ul X_1` et `ul X_2`:

`phi_3 = phi_1 - phi_2`

Le quotient de deux nombres complexes revient à faire le rapport des modules d'une part et la différence des arguments d'autre part.

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