Sommaire général

Régimes transitoires

II. Résolution des équations du premier ordre

3. Détermination de `b(t)`

On reprend l’équation du premier ordre `u(t) = R C {d u_C(t)}/{dt} + u_C(t)` dont la solution est de la forme `u_C(t) = A e^ {-t / tau} + b(t)`

Lorsque `t` tend vers l’infini alors l’exponentielle `e^ {-t / tau}` tend vers 0 et `u_C(t)` tend vers `b(t)`.

Le terme `b(t)` correspond donc au régime permanent pour le dispositif étudié.

u(t)i(t)uC(t)RC

Le terme `b(t)` se détermine à partir du comportement du dispositif lorsque le régime permanent est atteint. Les méthodes utilisées sont celles vues lors des années précédentes.

Pour la suite, on étudie l’équation `u(t) = R C {d u_C(t)}/{dt} + u_C(t)` dans les deux situations suivantes :

Première situation

La tension `u(t)` est :

(s)0u(t)U

L’équation devient `U = R C {d u_C(t)}/{dt} + u_C(t)` pour `t ≥ 0`.

Au bout d'une durée « suffisamment longue » la tension aux bornes du condensateur vaut `u_C(t) = U`.

Deuxième situation

La tension `u(t)` est :

(s)0u(t)Umax

L’équation devient `U_"max"cos omega t = R C {d u_C(t)}/{dt} + u_C(t)` pour `t ≥ 0`.

Au bout d'une durée « suffisamment longue » la tension aux bornes du condensateur vaut :
`u_C(t) = U_"Cmax" cos ( omega t+ psi) `
avec `U_"Cmax" = 1 / { sqrt {1+ ( RC omega )^2} } U_"max"` et `psi` tel que `tan psi = -R C omega`.

Il est possible d'écrire les résultats intermédiaires :

Première situation

`u_C(t) = A e^ {-t / tau} + U`

Deuxième situation

`u_C(t) = A e^ {-t / tau} + U_"Cmax" cos ( omega t+ psi)`

Il ne reste plus qu'à déterminer la constante `A`.