Sommaire général

Régimes transitoires

II. Résolution des équations du premier ordre

5. Représentation graphique de la réponse à un échelon

Échelon

On appelle « échelon » l'évolution d'une grandeur qui passe instantanément d'une valeur constante à une autre valeur constante.

Le graphique ci-contre représente un échelon de 0 à 10 V appliqué à l'instant `t = 0`.

La réponse d'un dispositif à un « échelon » est appelée « réponse indicielle ».

(s)0u(t) (V)10

Application au circuit RC

Le circuit RC étudié précédemment est soumis à un échelon de tension de 0 à 10 V à l’instant `t = 0`. La capacité est supposée initialement déchargée.

L'équation différentielle pour `t>=0` s'écrit `10 = R C {d u_C(t)}/{dt} + u_C(t)`. Sa solution est de la forme `u_C(t) = A e^ {-t / tau} + b(t)` avec `tau = RC`

Détermination les valeurs de `A` et `b(t)`

On commence par le régime établi, c'est à dire `b(t)` : pour une durée suffisamment longue après `t = 0`, le courant dans le circuit est nul et la tension aux bornes de la capacité est égale à 10 V soit `b(t) = 10 `.

La solution devient `u_C(t) = A e^ {-t / tau} + 10` et la constante `A` peut être déterminée à partir des conditions initiales : `u_C(0) = A e^ {-0 / tau} + 10` et `u_C(0) = 0` donc `A = -10`

La solution finale est donc `u_C(t) = -10 e^ {-t / tau} + 10` ou `u_C(t) = 10 (1- e^ {-t / tau})`

Détermination de la dérivée de `u_C(t)` à partir de l’équation différentielle

Rappel : si `f(x) = e^{ax}` alors `f'(x) = a e^{ax}`

Comme `u_C(t) = 10 (1- e^ {-t / tau})` alors `{du_C(t)}/{dt} = 10/tau e^ {-t / tau}`

Calcul de l’instant pour lequel la dérivée à l'origine de `u_C(t)` est égale à la valeur atteinte par `u_C(t)` en régime permanent.

On calcule la valeur de la dérivée à l'instant initial d'après ce qui précède `{du_C(t)}/{dt} = 10/tau e^ {-t / tau}` ; à l'instant initial `[{du_C(t)}/{dt}]_(t=0) = 10/tau e^ {0 / tau} = 10/tau`

La dérivée à l'origine est une droite passant par zéro et dont la pente est égale à `10/tau`, son équation est donc `y(t) = 10/tau t`

En régime permanent, `u_C(t) = 10` et on cherche l'instant particulier `t_"p"` pour lequel `y(t_"p") = 10` ce qui se traduit par l'équation `10/tau t_"p" = 10` ce qui donne `t_"p" = tau`.

Calcul de `u_C(t)` pour `t = tau` puis `t = 3 tau` puis `t = 5 tau`

Dans l'équation `u_C(t) = 10 (1- e^ {-t / tau})`, on remplace `t` par les valeurs demandées

Au bout d'une constante de temps, la tension `u_C(t)` a atteint 63% de sa valeur finale, 95% au bout de trois constantes de temps et 99% au bout de cinq constantes de temps. Ces résultats sont généralisables à toutes les réponses indicielles des systèmes régis par des équations différentielles du premier ordre.

Tracé de la courbe

Sur le graphique ci-contre :

Selon les cas, on peut estimer que le régime permanent est atteint au bout de trois constantes de temps ou au bout de cinq constantes de temps.

(s)0u(t) (V)10