Les spectres sont des graphiques représentant les harmoniques d’une grandeur sinusoïdale. On étudie ici les spectres d'amplitude et de phase (ou argument).
Dans les deux cas, l’axe des abscisses est gradué en fréquence.
Les graphes ci-dessous sont les spectres en amplitude et phase de la tension ci-contre
L'amplitude des harmoniques est donnée par la relation `C_n = {sqrt (2).U}/{n pi}*sqrt(1-cos (2 pi.n. alpha))` avec `U = 20` et `alpha = 0,28`
La phase à l'origine des harmoniques est donnée par la relation `tan phi_n = { 1 - cos(n 2 pi alpha)}/{sin(n 2 pi alpha)}` avec `alpha = 0,28`
Voir la démonstration
Calcul des termes du développement en série de Fourier
Les termes du développement en série de Fourier d'une grandeur périodique `x(t)` de période `T` sont donnés par :
`x(t) = X_0 + sum_{n=1}^{n = oo} a_n cos (n omega t) + b_n sin (n omega t) = X_0 + sum_{n=1}^{n = oo} c_n cos (n omega t - phi_n)= X_0 + sum_{n=1}^{n = oo} c_n sin (n omega t - phi_n + pi/2)`
avec
- `X_0` la valeur moyenne de `x(t)`
- `a_n = 2/T int_0^T x(t) cos (n omega t) dt` et `b_n = 2/T int_0^T x(t) sin (n omega t) dt`
- `c_n = sqrt(a_n^2 + b_n^2)` et `phi_n` tel que `cos phi_n = a_n/c_n` et `sin phi_n = b_n/c_n`
Il est aussi possible d'écrire `x(t) = X_0 + sum_{n=1}^{n = oo} c_n sin (n omega t + psi_n )` en posant `psi_n = pi/2 - phi_n`
Calcul des `a_n` et `b_n`
`a_n = 2/T int_0^(alpha T) U.cos (n omega t) dt
`a_n = {2 U}/T 1 /{n omega} [sin (n omega t)]_0^(alpha T)`
`a_n = {2 U}/n 1/{omega T} [sin (n {2 pi}/T .alpha T)]
`a_n = U/{n pi} sin (n 2 pi alpha)`
`b_n = 2/T int_0^(alpha T) U.sin (n omega t) dt
`b_n = {2 U}/T 1 /{n omega} [-cos (n omega t)]_0^(alpha T)`
`b_n = {2 U}/n 1 /{omega T} [1- cos (n {2 pi}/T .alpha T)]
`b_n = U/{n pi} [1- cos (n 2 pi alpha)]`
Amplitude des harmoniques
`c_n = sqrt(a_n^2 + b_n^2) = U/{n pi} sqrt(sin^2(n 2 pi alpha)+[1-cos (n 2 pi alpha)]^2) = U/{n pi} sqrt(sin^2(n 2 pi alpha) + 1 - 2 cos(n 2 pi alpha) + cos^2(n 2 pi alpha))`
Finalement `c_n = {sqrt(2) U}/{n pi} sqrt( 1 - cos(n 2 pi alpha))`
Phase à l'origine des harmoniques
La phase à l'origine des harmoniques est calculée à partir des relations :
-
`cos phi_n = { U/{n pi} sin (n 2 pi alpha)} / {{sqrt(2) U}/{n pi} sqrt( 1 - cos(n 2 pi alpha))}`
soit `cos phi_n = 1/sqrt(2){sin (n 2 pi alpha)} / {sqrt( 1 - cos(n 2 pi alpha))}`
-
`sin phi_n = { U/{n pi} [1- cos (n 2 pi alpha)]} / {{sqrt(2) U}/{n pi} sqrt( 1 - cos(n 2 pi alpha))}`
soit `sin phi_n = 1/sqrt(2) sqrt { 1 - cos(n 2 pi alpha)}`
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