Les spectres sont des graphiques représentant les harmoniques d’une grandeur sinusoïdale. On étudie ici les spectres d'amplitude et de phase (ou argument).
Les graphes ci-dessous sont les spectres en amplitude et phase de la tension ci-contre
L'amplitude des harmoniques est donnée par la relation `C_n = {sqrt (2).U}/{n pi}*sqrt(1-cos (2 pi.n. alpha))` avec `U = 20` et `alpha = 0,28`
La phase à l'origine des harmoniques est donnée par la relation `tan phi_n = { 1 - cos(n 2 pi alpha)}/{sin(n 2 pi alpha)}` avec `alpha = 0,28`
Voir la démonstration
Calcul des termes du développement en série de Fourier
Les termes du développement en série de Fourier d'une grandeur périodique `x(t)` de période `T` sont donnés par :
`x(t) = X_0 + sum_{n=1}^{n = oo} a_n cos (n omega t) + b_n sin (n omega t) = X_0 + sum_{n=1}^{n = oo} c_n cos (n omega t - phi_n)= X_0 + sum_{n=1}^{n = oo} c_n sin (n omega t - phi_n + pi/2)`
avec
- `X_0` la valeur moyenne de `x(t)`
- `a_n = 2/T int_0^T x(t) cos (n omega t) dt` et `b_n = 2/T int_0^T x(t) sin (n omega t) dt`
- `c_n = sqrt(a_n^2 + b_n^2)` et `phi_n` tel que `cos phi_n = a_n/c_n` et `sin phi_n = b_n/c_n`
Il est aussi possible d'écrire `x(t) = X_0 + sum_{n=1}^{n = oo} c_n sin (n omega t + psi_n )` en posant `psi_n = pi/2 - phi_n`
Calcul des `a_n` et `b_n`
`a_n = 2/T int_0^(alpha T) U.cos (n omega t) dt
`a_n = {2 U}/T 1 /{n omega} [sin (n omega t)]_0^(alpha T)`
`a_n = {2 U}/n 1/{omega T} [sin (n {2 pi}/T .alpha T)]
`a_n = U/{n pi} sin (n 2 pi alpha)`
`b_n = 2/T int_0^(alpha T) U.sin (n omega t) dt
`b_n = {2 U}/T 1 /{n omega} [-cos (n omega t)]_0^(alpha T)`
`b_n = {2 U}/n 1 /{omega T} [1- cos (n {2 pi}/T .alpha T)]
`b_n = U/{n pi} [1- cos (n 2 pi alpha)]`
Amplitude des harmoniques
`c_n = sqrt(a_n^2 + b_n^2) = U/{n pi} sqrt(sin^2(n 2 pi alpha)+[1-cos (n 2 pi alpha)]^2) = U/{n pi} sqrt(sin^2(n 2 pi alpha) + 1 - 2 cos(n 2 pi alpha) + cos^2(n 2 pi alpha))`
Finalement `c_n = {sqrt(2) U}/{n pi} sqrt( 1 - cos(n 2 pi alpha))`
Phase à l'origine des harmoniques
La phase à l'origine des harmoniques est calculée à partir des relations :
-
`cos phi_n = { U/{n pi} sin (n 2 pi alpha)} / {{sqrt(2) U}/{n pi} sqrt( 1 - cos(n 2 pi alpha))}`
soit `cos phi_n = 1/sqrt(2){sin (n 2 pi alpha)} / {sqrt( 1 - cos(n 2 pi alpha))}`
-
`sin phi_n = { U/{n pi} [1- cos (n 2 pi alpha)]} / {{sqrt(2) U}/{n pi} sqrt( 1 - cos(n 2 pi alpha))}`
soit `sin phi_n = 1/sqrt(2) sqrt { 1 - cos(n 2 pi alpha)}`
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