Sommaire général

Principe fondamental de la dynamique appliqué au solide

II. Définitions

2. Vitesse et vecteur vitesse

Vitesses moyenne et instantanée

La vitesse moyenne `V_"moy"` d'un point entre deux instants `t_1` et `t_2` est égale à la longueur `Delta s` de la portion de trajet parcourue pendant une durée `Delta t` : `V_"moy" = {Delta s}/{Delta t}`.

L'unité du système international de la vitesse est le `"m"//"s"` ou `"m"."s"^{-1}` mais on peut aussi exprimer la vitesse en `"km"//"h"`, `"m"//"min"`, ...

Exemple

Un véhicule parcourant une distance de 55 km pendant une durée égale à 25 min se déplace à la vitesse moyenne :

`V_"moy" =55/25 = 2,20" km/min" = 55/{25*60} = 36,7 cdot 10^-3 " km/s" = 36,7" m/s"`

En faisant tendre la durée `Delta t` vers zéro et la longueur parcourue vers zéro , on obtient la vitesse instantanée `v(t) = {d s(t)}/{dt}` : c'est la dérivée de la trajectoire par rapport au temps.

Exemple

On considère un colis placé par un robot sur un tapis roulant fonctionnant à vitesse constante.
La position du colis, notée `x`, est repérée par une règle, graduée en mètres, placée à côté du tapis.

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Le graphique ci-contre représente les évolutions de la position de deux colis posés sur ce tapis roulant en fonction du temps : quelque soit leur position initiale, les colis ont parcouru la même distance pour une durée donnée. Les deux courbes représentatives des positions des deux colis sont des droites parallèles.

La vitesse d'avancement des colis est :

  • Pour le colis n°1 : `v_1 = {x_"1f" - x_"1i"}/{Delta t}` avec `x_"1f"` et `x_"1i"` les positions finale et initiale du colis n°1 et `Delta t` l'intervalle de temps sur lequel est calculée la vitesse.
  • Pour le colis n°2 : `v_2 = {x_"2f" - x_"2i"}/{Delta t}`
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Une graduation verticale pour un mètre, une graduation horizontale pour une seconde.

Vecteur vitesse

La vitesse d'un point A du système est représentée par un vecteur, noté `vec v_"A"` par la suite.

Le point d'application de ce vecteur est en `A`, sa direction est tangente à la trajectoire, son sens est celui du déplacement et son module est égal à `v(t)`.

Lorsque le point `A` se déplace sur la trajectoire, les caractéristiques du vecteur vitesse peuvent être modifiées.

Origine de l'image du VTT

Oxyzijk Layer 1 scoot AxAyAzA

On peut aussi écrire `vec v_"A"` en fonction des composantes qui correspondent aux valeurs de la vitesse selon les différentes directions. Si la position du point `A` est donnée par ` vec"OA" = x_"A" .vec i + y_"A" .vec j + z_"A" .vec k` alors `vec v_"A" = v_x.vec i + v_y. vec j + v_z. vec k` avec `v_x = {dx_"A"}/{dt}`, `v_y = {dy_"A"}/{dt}` et `v_z = {dz_"A"}/{dt}`. L'unité des composantes du vecteur vitesse est le `m//s` ou `m.s^{-1}`.

Le module du vecteur vitesse peut être calculé par `v_"A" = sqrt{v_"x"^2 + v_"y"^2 + v_"z"^2}`

Exemple

Soit le vecteur vitesse `vec v` représenté sur la figure ci-contre :

La composante selon l'axe horizontal est égale à `v_x` donc `vec v_x = v_x.vec i`.

Vecteur vitesse

La composante selon l'axe vertical est égale à `v_y` donc `vec v_y = v_y.vec j`.

Le vecteur vitesse n'a pas de composante selon l'axe perpendiculaire au plan de la figure donc `v_z = 0`.

Finalement `vec v = v_x.vec i + v_y. vec j + 0 vec k = v_x.vec i + v_y. vec j`